ナビエ・ストークス方程式
ニュートンの粘性法則
粘性のない非圧縮性流体を完全流体と呼ぶ。今回は粘性のある非圧縮性流体を考えよう。流体の上部に板を置いてｘ方向に移動させると、板にひきずられて流体が移動する。ただし、底面に接した部分の流体の速度は0である。このように、流速が直線状に変化するような流れを、クェット流れと呼ぶ。ここで、位置yの流体がその上部（y+dy）の流体から引きずられるようにはたらく応力τを考え、これを粘性応力と呼ぶことにする。流速v_xのy方向のずれを考えて、粘性応力がその割合（速度勾配）dv_x/dyに比例するとしよう。
これをニュートンの粘性法則と呼び、比例定数μを粘性率（粘性係数）と呼ぶ。
水平な円管の内部を粘性流体が流れるとき、粘性によってそのエネルギーEが減少するが、流速vは減少しない。ベルヌーイの定理を思い出すと、
運動エネルギーと位置エネルギーが減少しないということから、第3項の圧力pが減少することが分かる。そこで、圧力の減少量Δp(<0)を加えて、
と補正することにする。これを拡張されたベルヌーイの定理と呼ぶ。
流れに沿って圧力が減少することを踏まえて、半径Rの円管を流れる粘性流体の速度分布を求めてみよう。図のような流れをハーゲン・ポアズイユ流れと呼ぶ。
円管の中心部の小さな円柱（断面の半径ｒ、長さＬ）に注目して力のつり合いの式を立てると、
となる。クェット流れとは異なり、ｒ方向の速度勾配が負なので、粘性応力も負である。そこで、
とする。これを力のつり合いの式へ代入してまとめると、
になるので、これを積分することで、
速度分布が得られる。円管の半径がRのとき、r=Rで速度がv_x=0であることを用いて積分定数Cを求めると、
となるので、
である。これを円管の断面S全体で足し合わせると、
単位時間に断面を通過する流体の体積（流量）が得られる。これをハーゲン・ポアズイユの法則と呼ぶ。
ナビエ・ストークス方程式
x軸に垂直な面にはたらくy方向の粘性応力をτ_xy、y軸に垂直な面にはたらくx方向の粘性応力をτ_yxとする。力のモーメントのつり合いより、これらは等しい。そこで、これらを
と表そう。すると、τ_xxやτ_yyは、
と計算できる。これらを使って、体積ΔxΔyΔzの部分にはたらくx方向の粘性応力による力の和f_xを求めると、
となる。ρΔxΔyΔzで割ると、
単位質量当たりの粘性応力が得られる。これを3次元に拡張すると、
と表すことができる。ここで、非圧縮性流体の場合は∇・v=0だから、
になる。これをオイラーの方程式
の右辺に加えると、
非圧縮性粘性流体に拡張することができる。3成分をまとめて、
と書くこともできる。これを、非圧縮性流体におけるナビエ・ストークス方程式と呼ぶ。左辺を慣性項、右辺第1項を圧力項、第２項を粘性項、第３項を外力項と呼ぶ。ここで、粘性項の係数
を動粘性率（動粘性係数）と呼び、運動する流体の加速しやすさを表している。これを使ってナビエ・ストークス方程式を書き換えると、
となる。次は、外力F=0のとき、
と変換することを考える。Uは流体の代表速度で、Lは代表長さという。物体を通り過ぎる流体の運動では、流れに垂直な幅の長さがL、円管を流れる流体の運動では円管の直径がLである。t'による偏微分は、
であり、x',y',z'による偏微分をまとめて、
このことから、
と表せるので、ナビエ・ストークス方程式が、
と書き換えられる。粘性項の係数の分母
をレイノルズ数と呼び、粘性項と慣性項の影響の割合を示している。
レイノルズ数が小さいときは粘性項の影響が大きく、流れのそろった層流になる。レイノルズ数が大きいときは慣性項の影響が大きく、個々の流れが卓越する乱流になる。