ベルヌーイの定理

流体の加速度

　ここからは運動する流体を考えていく。流体の運動を記述する方法にはどのようなものがあるだろうか。例えば管内の一部に注目して、そこを通過していく流体の速度vの時間変化を見る方法がある。この速度が変化しない流体を定常流、変化する流体を非定常流という。定常流は、

と表せる。このような流体の運動の表し方をオイラーの方法と呼ぶ。また、この加速度を時間的加速度と呼ぶ。

　一方、管内を流れる流体粒子に注目して、その粒子を追いかけるという方法がある。これをラグランジュの方法と呼ぶ。距離dxだけ移動した流体の速度が変化したとき、流体の加速度は、

と表せる。この加速度を移流加速度と呼ぶ。このように、流体の運動を表す加速度は2種類考えることができるので、これらの和を考えて、

これを流体の加速度としよう。Dv/Dtと表したこの微分を実質微分と呼ぶ。また、実質微分の中身の第1項dv/dtを非定常項、第2項vdv/dxを移流項ともいう。3次元の流れの場合は、3成分を持つ速度ベクトルを考えて、

と表すことができる。

　管内のある領域に流体が流入し、流出していったとする。流体の密度、速度、管の断面積をそれぞれρ，v，Sとして添え字を付けて流入と流出を表すと、単位時間あたりに流入した流体の質量ρ_1v_1S_1と、流出した流体の質量ρ_2v_2S_2が等しいことから、

という関係が成り立つ。非圧縮性流体の場合は密度が変わらないから、ρ_1=ρ_2とすると、

となる。この式より、断面積Sが小さくなると流速vが大きくなることがわかる。

　今度は小さな領域を考えてみる。断面積がdSの小さな面から流出する流体の質量は、単位時間当たりρvdSと表せる。小さな体積dVの領域に含まれる流体の質量はρdVだから、単位時間当たりの質量の減少量は－ρdV/dtと表すことができる。これらは等しいので、

という関係が成り立つ。両辺を積分すると、

領域全体での流体の流出を表すことができる。ここで右辺にガウスの発散定理を適用すると、

となるので積分記号が外せて、

となる。これを連続の方程式と呼ぶ。非圧縮性流体の場合は密度が時間変化しないから、

となる。

　次は、断面積Sの管に含まれる長さdxの部分に注目して、流体の運動方程式を立ててみよう。質量はρSΔx、加速度Dv/dt、力は圧力pによる力と重力ρSgΔxがはたらくから、

となる。ここで、今考えている部分の両端の高さの差をΔhとすると、

だから、これを使ってまとめると、

となる。さらに、重力の部分を

とおくと、

となる。Fは単位質量当たりの力で、重力以外の外力でもよい。圧力以外の力をまとめたと考えよう。この式を、オイラーの方程式と呼ぶ。3次元の流れの場合には、

と表される。定常流の場合は、非定常項∂v/∂tが0になるので、

になる。

　1次元のオイラーの方程式を、

と書くことにすると、定常流の場合は、

と表される。さらに両辺にdxを掛けて積分記号を付けると、

となり、積分を実行すると、

となる。Eは定数であり、単位体積当たりのエネルギーを表している。すなわちこの式は、単位体積当たりの流体のエネルギーが保存されていることを表している。これを、ベルヌーイの定理と呼ぶ。左辺第1項は運動エネルギー、第2項は圧力エネルギー、第3項は位置エネルギーである。

　例えば、高さhの大きな容器の小さな穴から流体を流すとき、圧力pは変わらないが、運動エネルギーと位置エネルギーは変化する。上部の流速が0とみなせるとき、ベルヌーイの定理から

という関係が成り立ち、流出する流体の速度vが、

求められる。この結果は、高さhから自由落下する小球の速さと同じ式になっている。流速がこのように表されることを、トリチェリの定理という。

　次は、水平方向の管の断面積が変化したときの圧力の関係を考えよう。位置エネルギーは変化しないから、ベルヌーイの定理の式は、

　となる。ここで、連続の方程式から、断面積が小さくなると流速が大きくなることが分かっている（v_1<v_2）。このとき、ベルヌーイの定理より圧力は下がる（p_1>p_2）ことがわかる。圧力は、図のように上部に立てた細管内の流体の高さから知ることもできる。このような装置をベンチュリ管と呼ぶ。

　飛行機の速さの測定にもベルヌーイの定理が使われている。飛行機が空気中を進んでいるとき、飛行機は正面から空気の流れを受けている。

飛行機には図のような装置が取り付けられており、ピトー管と呼ぶ。ピトー管の先端では空気の速度が0になる。この点をよどみ点と呼ぶ。よどみ点と離れた点を比較してベルヌーイの定理を適用すると、

となり、これを解くことで、

飛行機に対する空気の速さが得られる。すなわち空気に対する飛行機の速さである。圧力はピトー管の内部の液体の液面の高さから知ることができる。