量子力学

確率の波 ←→ エルミート演算子 

　ミクロな世界では、観測するたびにその位置が変化する。仮に、粒子を狭い箱に閉じ込めるとどうなるか。位置はほぼ確定することになるが、その代わり運動量の値が全くバラバラの値を取るようになってしまう。

　ミクロな世界では、位置と運動量を同時に確定させることはできない。このきまりを「ハイゼンベルクの不確定性原理」という。式では、

と表される。Δx,Δpはそれぞれ位置と運動量のばらつきである。右辺が0ではないから、Δxを限りなく0に近づけると、Δpは無限大の値になってしまうというわけだ。気を付けなくてはならないのは、このばらつきは、観測装置の性能限界を表しているのではないということ。つまり、真の値と測定値の差を考えているわけではない。粒子の状態は観測するまで決まらない。波動関数によって確率の波として表されていて、観測して初めてその値が確定するのだ。

　測定値と期待値との差を「偏差」といい、偏差の2乗の期待値を「分散」、分散の平方根を「標準偏差」という。平均値を利用した分散や標準偏差は、試験の点数分布などによく利用されている。ここでは、標準偏差を位置や運動量のばらつきとして話を進めていくことにする。

　ばらつきを表すために、まずは分散を求めよう。期待値を計算すればいい。

これでばらつき(標準偏差)が求められる。

ここで、xやpの期待値は座標の取り方によるから、<x>=0,<p>=0となるような座標を選ぶことにしよう。すると、

となる。

　それでは不確定性原理を導こう。次の積分を実行する。

第2項の積分は、

第3項の積分は、

となるから、まとめると

となる。左辺を見るとこの式は0以上だから、右辺について、判別式が0以下でなければならない。

全体の平方根を取る。

これで不確定性原理が導けた。

　いろいろな波長(波数)の物質波が重なり合うと、左上図のような波束を作る。いろいろな確率の波が集まり、確率の高い部分を作り上げているというわけだ。

　どのような波数の波が、どのくらい含まれているのかを知るためには、フーリエ変換という操作を行えばよい。

結果を右上に示した。この図を見ると、波数k_0の波が最も多く、そこから離れるにしたがって数が減っていることが分かる。

　ここで、位置のばらつきΔxを小さくしてみよう。すると波数のばらつきΔkが大きくなる。

• Δxが大きいとき、Δkは小さい。
• Δxが小さいとき、Δkは大きい。

　また、運動量pと波数kの間には

比例関係にあるので、

• Δxが大きいとき、Δpは小さい。
• Δxが小さいとき、Δpは大きい。

という不確定性原理が成立していることが分かる。

　量子力学が広まりつつある頃、この考え方に疑問を呈した科学者もいた。アインシュタインは「神はサイコロを振らない」として、ミクロな状態が確率的にしか定まらないという考えを批判した。また、状態が確定するのは観測が行われたときであるという考えについては、シュレーディンガーが次のような問題提起を行った。

　ラジウムなどの放射性物質は放射性崩壊を行って放射線を放出するが、それがいつ行われるかは確率でしか表せない。そして、観測が行われない限りは「放射性崩壊を行った状態」と「放射性崩壊を行っていない状態」が重なり合って存在しているといえる。

　では、箱の中に放射線を感知して毒ガスが噴出されるような装置を設置し、放射性物質とともに猫を閉じ込めるとどうなるか。箱を開けて状態を確認していないとき、猫は「生きている状態」と「死んでいる状態」が重なり合って存在していることになるのだろうか。そんな状態が存在しうるのか。もしも観測を行う以前に状態が確定しているのならば、それはいつ確定したのか。観測によって状態が確定するとはどういうことなのか。こうして、シュレーディンガーは当時発展しつつあった量子力学に疑問を呈した。この思考実験を「シュレーディンガーの猫」という。