重力場の方程式

　一般相対性理論には基礎となる方程式が2種類ある。ひとつめの測地線方程式は、曲がった時空内を物体がどのような経路をたどるかを表す方程式で、いわゆる一般相対性理論における運動方程式である。ふたつめは時空の曲がり具合と時空を曲げる原因を表す方程式で、「アインシュタイン方程式」と呼ばれる。

リーマン曲率テンソル

　空間が曲がっていると、平行なベクトルを同じ点に移動させると平行でなくなる。平面であれば一致するはずである。だから、ある位置に置いたベクトルを、2通りの経路に沿って移動させたとき、移動後のベクトルの差を調べることで、時空が平坦か曲がっているかを判断できるのだ。

　まず、位置ｘ→ｘ＋ｄｘ→ｘ＋ｄｘ＋δｘとベクトルVを平行移動させていく。ｘ＋ｄｘでのベクトルは、

と表すことができ、続いてｘ＋ｄｘ＋δｘでのベクトルは、

となる。2行目ではクリストッフェル記号をテイラー展開している。

　次は経路を変えて、ｘ→ｘ＋δｘ→ｘ＋δｘ＋ｄｘと移動させたベクトルは、今の結果のｄｘとδｘを入れ替えることで得られるので、

である。これらの差を計算すると、

となる。カッコの中身

が時空の曲がりを表していて、これを「リーマン曲率テンソル」と呼ぶ。平坦な時空であれば0になる。

　リーマン曲率テンソルには4つの添え字μ,ν,λ,κがあり、それぞれ0～3の値を取るので、合わせて4^4＝256成分もあることになる。ただし、

という関係や、

という関係があるため、独立な成分は95成分まで減らすことができる。

　さらに、この式に計量を掛けると、

添え字を下げることができる。リーマン曲率テンソルの定義から、第1項は、

となる。ただし、局所的慣性系を考えることで、計量の微分は0とした。この式より、

の関係が得られるため、リーマン曲率テンソルの独立な成分が20個であることが分かる。一応書き出しておくと、上側の3つの関係式から

の21成分が得られ、下側の関係式によって1成分減って、20成分になる。

アインシュタインテンソル

　リーマン曲率テンソルの共偏微分を計算しよう。局所慣性系を考えるとクリストッフェル記号は0だから、普通の微分と見なすことができる。

この結果から、

という関係を得る。これを「ビアンキの恒等式」と呼ぶ。　特に、ν＝μのとき、

となるが、ここで

を「リッチテンソル」と呼び、リッチテンソルを使うと、ビアンキの恒等式は、

となる。さらに、

を「スカラー曲率」と呼び、これを使うと、

となる。ここで、カッコの中身

を「アインシュタインテンソル」と呼び、時空の曲がり具合を表している。アインシュタインテンソルは、

の関係を満たす。

エネルギー運動量テンソル

　時空が曲がる原因は重力であり、重力は質量を持つ物体の周りに生じる。特殊相対性理論から、質量はエネルギーと等価であるから、重力の原因はエネルギーということもできる。ここでは質量やエネルギーが連続的に分布した運動量を持つ流体と見なすことで、時空が曲がる原因を「エネルギー運動量テンソル」によって表すことにしよう。エネルギー運動量テンソルT^μνは、ｘ^νの面を通過する4元運動量ｐ^μの流れである。流れは、粒子の数密度nと４元速度uの積で表す。