トンネル効果
ポテンシャルが有限の値であるとき、波動関数はその内部に染み出すことが許される。その結果、量子力学の世界では、ポテンシャルの壁を粒子が通り抜けるという現象が起こる。これを「トンネル効果」という。
箱型ポテンシャル
図のようなポテンシャルを考え、この箱型ポテンシャルに、エネルギーＥ（＜V_0）を持った粒子が左側からやってきたとする。この粒子が箱を通過する確率（透過率）を求めてみよう。
今回も波動関数がｘの部分とｔの部分に分けられるとすると、時間に依存しないシュレーディンガー方程式は、
となる。前回と同じk，bを用いて、①の一般解を、
②の一般解を、
と表す。
①の一般解の、Aの項は、波動関数f(t)と組み合わせると
となり、ｘ軸正の向きに進む波を表していることが分かる。同様にBの項は、
となり、ｘ軸負の向きに進む波を表していることが分かる。x<0の位置では、粒子はこの２つの波の重ね合わせで存在しているわけだ。この粒子の向きを考えると、ｘ>aの部分では粒子は正の向きにしか進まないはずだから、この位置での波動関数を、
と表すことができる。
まとめ
透過率
このポテンシャルを通過し、ｘ＞aの位置に粒子が存在する確率は、波動関数の２乗
に比例している。同様に、ｘ＜０の位置を正の向きに進む粒子の存在確率は、
に比例している。このことから、粒子の透過率は、
と表されることになる。では、これを求めよう。
透過率を求めるためには、３種類の波動関数u1,u2,u3に使われている係数A～Fが分かればいい。そこで、箱の境界（x=0,a）で波動関数がなめらかにつながるという境界条件を考える。すると、微分を用いて、次の４種類の関係式が得られる。
未知数５つに対して式が４つしかないので解くことはできないが、透過率Tを求めるためにはF/Aが分かればよいので、まず後半の２式を用いて
このようにC,DをFで表し、続いて前半の２式から得られた
Aに、CとDを代入する。
ここから、A/Fが求められる。
この逆数の２乗によって透過率Tが得られる。
ここで、ハイパボリックサイン（シンチ）sinhとハイパボリックコサイン（コッシュ）coshを用いてこれを簡単にする。
より、
となる。
これを２乗し、
ここで、
を用いて書き変える。
こうして、透過率
が得られる。
また、反射率をR=|B/A|^2と表すと、反射率と透過率の和が１になることから、
を得ることもできる。
トンネル効果
透過率の式に使われているｂとｋを元に戻し、エネルギーE，V_0で表す。
より、
ここでbaが非常に大きいとすると、sinh(ba)は
となるので、
と変形できる。＋１も消去した。
せっかくなので、私たちが壁を通り抜ける確率を求めてみよう。ざっくり、eの部分だけに注目する。
いま、50kgの人が10m/sの速さで、高さ10m，厚さ1mの壁に衝突することを考えると、ポテンシャルV_0と運動エネルギーEが
だから、透過率は
となる。0といってよいことが分かる。