摂動 ←→ 

　今回は、時間に依存する摂動v(t)を加えた場合を考えよう。時間に依存するシュレーディンガー方程式は、

となる。ここで、摂動がないときの時間に依存しないシュレーディンガー方程式

となる。この方程式を満たす波動ベクトルの時間発展

を考え、時間に依存するシュレーディンガー方程式の解を、その和で表すことにする。

この係数Cを求めることが今回の目的である。これを元の方程式に代入して、

左辺の積分を実行し、右辺第１項からエネルギー固有値を取り出すと、

になる。すると、左辺第２項と右辺第１項が打ち消し合い、

と書ける。ここで、n番目の波動ベクトルとの内積を取ると、

となる。ただし、左辺には正規直交条件

を利用した。これより、係数C(t)の微分

が得られた。ここで、

と係数C(t)をラムダで展開しよう。これを代入して、

λ^0の係数だけ選び取ると、

となり、

であることが分かる。時刻t=0までは摂動がなく、t=0以降に摂動が加えられたとしよう。時刻t=0までは状態ｋで、摂動によって、ある確率で状態ｎへ遷移すると考える。すると、時刻0で状態ｋの確率は１、状態ｎの確率は０だから、

と表すことができる。続いて、シュレーディンガー方程式からλの係数だけ選び取ると、

となる。これを積分することで、１次の係数C^1が得られる。

では、具体的な摂動を考えて、この計算をしてみよう。

　時刻t=0以降、時間変化しない摂動を与えたときを考える。

すると、C^1(t)が、

と計算できる。ここで、係数C(t)の２乗

が状態ｋから状態ｎへの遷移確率を表す。λ^2以降の項は影響が小さいので省略した。ここまではわかりやすくλを使って表してきたが、ここからはλ=1としよう。すなわち、

を確率密度と考えればよい。ここで、

を用いることで、

を得る。これをグラフ上に表すと、

となる。状態nと状態kのエネルギーが等しいときに遷移することがわかるが、わずかにずれてもよいこともわかる。また、

が大きくなるにつれて、エネルギーのずれが小さくなっていくこともわかる。aの値、すなわち時間ｔを大きくしていくと、エネルギーのずれが０に近づいてくことになる。エネルギー幅ΔEと、摂動を与えた時間Δｔの間には、

の関係があり、これをエネルギーと時間の不確定性関係と呼ぶ。また、

について、

の関係を使うことにより、

を得る。δ(x)はデルタ関数である。これが遷移確率であるが、時刻ｔを無限大にしているので、もはやｔを残しておく必要はないだろう。そこで、単位時間当たりの遷移確率

を考えよう。これを、フェルミの黄金律と呼ぶ。

　例えば、時間変化しない摂動の例として、湯川ポテンシャル

を考えてみよう。この式は、μ→0とすることで、静電気力による位置エネルギーになる。湯川ポテンシャルによる散乱を経て、状態がｋからｎへと遷移したとする。フェルミの黄金律は、

となる。積分は、３次元極座標を考えて、

のように計算していけばよい。ただし、１行目では

とおき、Kベクトルをｚ軸に平行に取ることで、

とした。また、２行目以降は

とおき、ｓで積分した。さらに、

であることより、

だから、

となる。これをフェルミの黄金律の式に戻せば、

を得る。ここで、遷移が起こるのは状態ｋとｎのエネルギーが等しいときであり、これはｋベクトルとｎベクトルの大きさが等しいときである。これをｋと書くことにすると、

と書き直せるから、

となる。Θはｋベクトルとｎベクトルの間の角度（散乱角）である。ここで、μ→0として静電気力による位置エネルギーにすると、この式は

となる。散乱実験がこの式を満たすことから、ラザフォードは原子核を発見し、太陽系モデルを発案した。

　それでは、次は

のように振動する摂動を時刻ｔ＝０以降に与えたとしよう。C^1が、

と計算できるので、遷移確率が

と得られ、単位時間当たりの遷移確率、すなわちフェルミの黄金律が、

こうして求められる。遷移が起こるのは、

のときである。図にすると、

このようになり、状態ｋとｎのエネルギー差ｈνに等しい摂動エネルギーによって遷移が起こることが分かる。